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गणित में अच्छे नंबर लाने के लिए थ्‍योरम की ऐसे करें प्रैक्टिस

News18Hindi
Updated: September 23, 2019, 6:17 PM IST
गणित में अच्छे नंबर लाने के लिए थ्‍योरम की ऐसे करें प्रैक्टिस
प्रमेयों को प्रमाणित करना बहुत ही महत्त्वपूर्ण प्रश्न है और परीक्षा में यह बार-बार पूछा जाता है. इन प्रमेयों को शुरू में समझना कई बार थोड़ा कठिन हो सकता है पर यह अच्‍छे मार्क्‍स दिलाता है.

प्रमेयों को प्रमाणित करना बहुत ही महत्त्वपूर्ण प्रश्न है और परीक्षा में यह बार-बार पूछा जाता है. इन प्रमेयों को शुरू में समझना कई बार थोड़ा कठिन हो सकता है पर यह अच्‍छे मार्क्‍स दिलाता है.

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  • Last Updated: September 23, 2019, 6:17 PM IST
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गणित को अकादमिक रूप से वैश्विक भाषा मानी गई है और इसे सभी विज्ञान की जननी कहा गया है. यह दुनिया के रहस्यों को समझने का औज़ार है. दैनिक जीवन की भाषा और तर्क होने के कारण गणित हमारी मदद करने के साथ-साथ सुंदर भी है.

यही कारण है कि स्कूली शिक्षा में गणित एक मुख्य और अनिवार्य विषय है. यह छात्रों की बौद्धिक विकास में सहायक होता है छात्रों के मश्तिष्क को गणित से ज़्यादा कोई अन्य विषय उर्वर नहीं बनाता. निजी तौर पर, गणित छात्रों के बौद्धिक, पेशेवर, नैतिक, आध्यात्मिक, सामाजिक और सांस्कृतिक विकास में मदद करता है. हालाँकि, गणित को समझना मुश्किल हो सकता है, यह सबसे कठिन विषय भी हो सकता है और कई बार उबाऊ भी लगता है. इसलिए हमने गणित के पाठ्यक्रम में इस बात का विश्लेषण किया है कि कैसे सवाल पूछे जाते हैं. प्रमेयों को प्रमाणित करना बहुत ही महत्त्वपूर्ण प्रश्न है और परीक्षा में यह बार-बार पूछा जाता है. इन प्रमेयों को शुरू में समझना कई बार थोड़ा कठिन हो सकता है पर यह गणित के पेपर में सर्वाधिक अंक दिलाने वाला होता है और इसलिए पढ़ाई और तैयारी के दौरान इनका अभ्यास ज़रूरी होता है.

प्रमेय क्या है?

एक गणितीय बयान जिसे साबित किया जा सकता है, प्रमेय (थ्योरम) कहलाता है और इस प्रमेय को सही साबित करने की प्रक्रिया को प्रमाण कहा जाता है. एनसीईआरटी की कक्षा 10 के पाठ्यक्रम के अनुसार सर्वाधिक महत्त्वपूर्ण प्रमेय यहाँ दिए जा रहे हैं. आपको इनको साबित करने के तरीक़ों को समझना है और परीक्षा की तैयारी करने के समय इनका अभ्यास करते रहना है.

वास्तविक संख्या:

और  के अपरिमेय (ईरैशनल) होने के प्रमाण
रूट 2 के अपरिमेय होने का प्रमाण
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रूट 5 के अपरिमेय होने का प्रमाण

त्रिकोण:

  1. यदि एक रेखा त्रिभुज के एक किनारे के समानांतर अलग-अलग बिंदुओं पर अन्य दो भुजाओं को काटती है, तो अन्य दो भुजाएँ समान अनुपात में विभाजित होती हैं.   मौलिक सामानुपातिक प्रमेय का प्रमाण



  1. दो समान त्रिभुजों के क्षेत्रों का अनुपात उनके संबंधित पक्षों के वर्गों के अनुपात के बराबर है.
    दो समान त्रिभुजों के क्षेत्रों के अनुपात पर प्रमेय का प्रमाण



  1. समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है.


पायथागोरस के प्रमेय का प्रमाण

  1. एक त्रिभुज में, यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्ग के योग के बराबर है, तो पहली भुजा के विपरीत कोण समकोण है.

  2. पायथागोरस के प्रमेय के उलटा होने का प्रमाण

    III. त्रिकोणमिति का परिचय


त्रिकोणमितीय पहचान sin2A + cos2A = 1 को साबित करें.
sin^2x + cos^2x = 1 का प्रमाण

वृत्त :

एक वृत्त के स्पर्शरेखा, जो जीवाओं द्वारा प्रेरित बिंदुओं के पास और बिंदु के समीप आने से प्रेरित है.

  1. साबित करें कि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु के माध्यम से त्रिज्या के लंबवत है.


प्रमाण : एक स्पर्शरेखा और एक ही वृत्त की त्रिज्या के बीच का कोण 90 डिग्री है.

  1. सिद्ध करें कि बाहरी बिंदु से एक वृत्त तक खींची गई स्पर्शरेखा की लंबाई बराबर है.
    प्रमाण : बाहरी बिंदु से वृत्त तक खींची गई स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं.


प्रमेय की तैयारी करने के दौरान क्या करें और क्या न करें :

क्‍या करें  और क्‍या न करें

  1. पेंसिल से स्पष्ट और साफ़ रेखाचित्र बनाएँ
    प्रमाण को रटें नहीं

  2. इन स्टेप्स को शामिल करें :



  • स्टेटमेंट

  • दिया हुआ

  • जो साबित करना है

  • प्रमाण

  • संरचना (अगर ज़रूरी है) 2. प्रमेय को सिद्ध करने के दौरान स्टेप्स को छोड़ना



  1. परिणाम का उचित तरीक़े से समापन करें 3. किसी स्टेप का उचित कारण नहीं बताना


प्रमेयों को याद रखने का सबसे बेहतर तरीक़ा:

  1. प्रमेयों के लिए एक अलग नोटबुक बनाएँ

  2. हर प्रमेय को ठीक से पूरी तरह समझें

  3. अगर प्रमाण के किसी भी स्टेप को आप नहीं समझ रहे हैं तो कक्षा में इसके बारे में पूछिए

  4. समझिए और प्रमेय के स्टेटमेंट को कंठाग्र कर लें

  5. हर दिन प्रमेय का अभ्यास करें

  6. फ़्लो चार्ट्स बनाएँ

  7. अपने दोस्तों को प्रमाण के बारे में बताएँ

  8. प्रमेयों को बनाने के लिए पर्याप्त समय दीजिए

  9. किसी भी प्रमेय को अंतिम समय के लिए नहीं छोड़ें

  10. अपना टेस्ट ख़ुद लें, यानी ख़ुद को टेस्ट करें


प्रमेयों को रटने के घाटे:

  1. आप उन्हें पूरी तरह भूल सकते हैं

  2. इससे प्रमेयों की गहरी समझ नहीं होती

  3. पुराने और नए ज्ञान के बीच कोई संबंध नहीं बन पाता

  4. आप फ़ोकस करना भूल सकते हैं

  5. आप समस्याओं को हल करने की क्षमता और तकनीक सीख नहीं पाएँगे

  6. अब हम पाठ्यक्रम से एक महत्त्वपूर्ण प्रमेय पर ग़ौर करेंगे और इसको साबित करने के तरीक़ों को समझेंगे.


पायथागोरस का प्रमेय :

समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है. दिए गए कथन की मदद से, हम सबसे पहले एक समकोण त्रिभुज का चित्र बनाएंगे. फिर हम लिखेंगे

  1. जो दिया गया है

  2. जो साबित करना है

  3. संरचना (अगर ज़रूरी है तो)

  4. साबित करने का तरीक़ा


जो दिया हुआ है: ∆ABC एक समकोण त्रिकोण है और इसका B पर यह समकोण है.

जो साबित करना है : AC2 = AB2 + BC2
संरचना : रेखाचित्र बनाइए BD  AC
प्रमाण :
∆ADB   ∆ABC … (यदि एक समकोण त्रिभुज के समकोण के शीर्ष से एक कर्ण तक खींचा जाता है, तो लम्ब के दोनों ओर त्रिकोण पूरे त्रिभुज और एक दूसरे के समान होते हैं.)

⇒    ….. (साइड्स आनुपातिक हैं)

⇒    AB2 = AD × AC           … (1)

∆ADB   ∆ABC … (यदि एक समकोण त्रिभुज के समकोण के शीर्ष से एक कर्ण तक एक लंब खींचा जाता है, तो लम्ब के दोनों ओर त्रिकोण पूरे त्रिभुज और एक दूसरे के समान होते हैं.)

⇒   ….. (साइड्स आनुपातिक हैं)

⇒  BC2 = CD × AC     … (2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

AB2 + BC2 = AD × AC + CD × AC

= AC (AD + CD)

= AC × AC

= AC2

⇒ AB2 + BC2 = AC2

इस तरह, यह साबित होता है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो पक्षों के वर्गों के योग के बराबर है. इस तरीक़े को अपनाकर आप निश्चित रूप से इस प्रमेय के लिए पूरे अंक प्राप्त करेंगे.

इस तरह, यह कक्षा 10 के एनसीईआरटी पाठ्यक्रम के अनुसार सबसे महत्वपूर्ण प्रमेयों के बारे में था. अपना अभ्यास जारी रखें और कभी भी प्रैक्टिस बंद न करें और तनाव में न आएँ. अपने आप को आगे बढ़ाएँ क्योंकि कोई और आपके लिए ऐसा करने वाला नहीं है.

ख़ुद में विश्वास रखें. और अगर आपको कोई मदद चाहिए आप हमें अपना प्रश्न इस पर भेज सकते हैं -

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First published: September 23, 2019, 6:13 PM IST
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